[Mathematics for Computer Science] 스터디 01

Ch.1 What is Proof?

1.1-1 Propositions (명제)

A proposition is  a statement that is either true or false.

1. 2 + 3 = 5 (참)
2.  ∀n ∈ ℕ   n² + n+ 41 is a prime number.

 *∀ is read "for all"
  ℕ is symbol that stands for the set of natural numbers, {0, 1, 2, 3, ...} (0이 제외일 때도 있음)

This proposition asserts that the final phrase is true for all natural numbers n. That phrase is a proposition in its own right:

"n2 + n+ 41 is a prime number"

this is a special kind of proposition called predicate, which is a proposition whose truth depends on the value of one or more variables.  This predicate is certainly true for many natural numbers n:

왼쪽은 오른쪽에 대한 명제이다. 2번의 명제는 predicate(술어)라 불리는데 이것은 변수에 따라 참이 될수도 거짓이 될 수도 있다. 그럼 저 2번 명제를 예로 들어보자
n=0   0×2 + 0 + 41 = 41 (prime number)
n=1   1×2 + 1 + 41 = 43 (prime number)
n=2   2×2 + 2 + 41 = 47 (prime number)
. . .
n=39 39×39 + 39 + 41 = 1601 (prime number)

  Experimental data like this can be useful in mathematics, but can also be misleading. In this case, when n = 40, we get  n² + n+ 41 = 40² + 40+ 41 = 41×41, which is not prime. So Proposition 2 is actually false!

  위와 같은 실험자료(또는 경험적 데이터)는 유용할 수 있지만, 잘못된 답으로 이끌어 갈 수 있다. 여기서 n = 40일 때 거짓인 경우가 나타나므로 40을 체크하지 않으면 아마 전부 prime number이니 참이라고 생각했을 지도 모르겠다.